Description

La théorie générale des processus et de l'intégrale stochastiques est
rarement enseignée en master 1 ou en école d'ingénieurs. Cependant la
modélisation stochastique a de plus en plus souvent besoin de modèles
discontinus faisant appel à cette théorie. Par ailleurs, si on extrait des
grands traités les seules notions de théorie générale nécessaires à la
construction de l'intégrale stochastique et à l'obtention de la formule
d'Ito, on aboutit à un texte qui peut être à la fois de taille raisonnable et
abordable au niveau du master.

Rendre plus accessible un domaine jusque-là réservé aux seuls spécialistes,
par des démonstrations très détaillées et commentées et la présence de
nombreux exercices corrigés, est l'ambition de cet ouvrage.

Après une introduction situant le contexte et donnant les grandes lignes
de la construction de l'intégrale stochastique, trois chapitres présentent
des rappels et des compléments sur l'intégration classique, les martingales
et la topologie générale. Le vrai point de départ de la théorie est
le théorème de capacité de Choquet. Les théorèmes de sections optionnelles
et prévisibles de Meyer en découlent facilement. On peut alors
définir les projections optionnelles et prévisibles, établir leurs propriétés et
démontrer le célèbre théorème de Doob-Meyer. Ce dernier résultat, avec
celui concernant la décomposition des martingales locales, constitue la
clé de la définition de l'intégrale stochastique. La covariation des semi-martingales
et la formule d'Ito (donc le calcul stochastique) dérivent à
leur tour de l'existence et des propriétés de l'intégrale stochastique.