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Description

Ce texte comporte deux parties. Dans la première nous étudions le spectre automorphe des variétés hyperboliques. Nous montrons en particulier un théorème « à la Selberg » sur la première valeur propre du laplacien sur les formes différentielles des variétés hyperboliques complexes de congruence. Notre démonstration passe par la théorie des représentations ; à ce titre nous tentons de faire un effort de vulgarisation de la théorie moderne des formes automorphes à l'attention d'éventuels lecteurs géomètres. Dans la deuxième partie du texte nous appliquons les résultats de la première partie à l'étude de la topologie des variétés hyperboliques complexes ; nous obtenons en particulier un théorème de relèvement de classes de cohomologie. La motivation principale de ce travail est donnée par les conjectures d'Arthur : celles-ci impliquent des restrictions très fortes sur le spectre des variétés arithmétiques qui à leur tour impliquent des propriétés conjecturales sur la géométrie des variétés hyperboliques. Ce texte fournit, outre des énoncés précis, la preuve de formes affaiblies de ces conjectures dans des cas particuliers.