Soient W l'anneau des vecteurs de Witt d'un corps parfait de caractéristique p > 0, (...) un schéma formel lisse sur W, (...) le changement de base de (...) par l'endomorphisme de Frobenius de W, (...) la réduction modulo p² de (...) et X la fibre spéciale de (...). On relève la transformée de Cartier d'Ogus-Vologodsky définie par (...). Plus précisément, on construit un foncteur de la catégorie des (...)-modules de pⁿ-torsion à p-connexion intégrable dans la catégorie des (...)-modules de pⁿ-torsion à connexion intégrable, chacune étant soumise à des conditions de nilpotence appropriées. S'il existe un relèvement (...) du morphisme de Frobenius relatif de X, notre foncteur est compatible avec une construction « locale » de Shiho définie par F. Comme application de la transformée de Cartier modulo pⁿ, on donne une nouvelle interprétation des modules de Fontaine relatifs introduits par Faltings et du calcul de leur cohomologie.

Let W be the ring of the Witt vectors of a perfect field of characteristic p, (...) a smooth formal scheme over W, (...) the base change of (...) by the Frobenius morphism of W, (...) the reduction modulo p² of (...) and X the special fiber of (...). We lift the Cartier transform of Ogus-Vologodsky defined by (...) modulo pⁿ. More precisely, we construct a functor from the category of pⁿ-torsion (...)-modules with integrable p-connection to the category of pⁿ-torison (...)-modules with integrable connection, each subject to suitable nilpotence conditions. Our construction is based on Oyama's reformulation of the Cartier transform of Ogus-Vologodsky in characteristic p. If there exists a lifting (...) of the relative Frobenius morphism of X, our functor is compatible with a functor constructed by Shiho from F. As an application, we give a new interpretation of Faltings' relative Fontaine modules and of the computation of their cohomology.